LaTeX+MathJax+Blogger test

Consider the $n\times n$ matrix
$$A_n = \begin{pmatrix}
0&1&\ldots&1\\-1&0&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&1\\-1&\ldots&-1&0\end{pmatrix}.$$
It can be shown that the characteristic polynomial of $A_n$ is given by $p(\lambda)=\det(\lambda I-A_n)=\frac12 \left((\lambda+1)^n+(\lambda-1)^n\right)$. So, when $n$ is even, we have $\det(A_n)=(-1)^np(0)=1$ and the eigenvalues of $A_n$ appear in reciprocal pairs, i.e. if $\lambda$ is an eigenvalue, so is $1/\lambda$.

See also:

1. MathJax
2. LaTeX using MathJax on Blogger

Lonesome

一直以來都覺得 "lonesome" 這個詞語很怪。後綴的 "-some" 總令我腦海浮現出有許多人的景象，但既然孤獨，又何以伴着多人？當然，喧鬧的人羣中，也可以沒有一個值得交心的人，但是詞語的源起，應該沒那麼複雜吧。

查 Online Etymology Dictionary，"lonesome" 一詞可追溯至 1640 年代，而 "lonely" 則稍早，約初見於 1600 年。英語後綴 "-some" 視乎所配詞語，有多種解釋。放在 "lone" 後面的 "-some"，似源自古代哥德語 "sama"，即現代英語的 "same"。由此看來，我覺得 "lonesome" 應該有「依然孤獨」的含意，比起 "lonely"，它更添幾分滄桑，多了恆久孤寂的感覺，不過起初是否真的這麼解，就不得而知了。

今日 "lonesome" 與 "lonely" 差不多是同義詞，而且比 "solitary"（獨處）負面，但是從大文豪 Samuel Johnson 所編的 A Dictionary of the English Language (1829)，我們發現在十九世紀初，兩詞的解釋與分野均與現今有頗大差異。當時 "lonely" 可以指孤獨得想有人作伴 (want of company) ，或單純的獨處，但也可以指沉溺獨處 (addicted to solitude)，因此就當事人而言，"loneliness" 可以是略帶負面（孤獨）、中性（獨處）甚至是正面（沉迷獨處）的情感。相比之下，當時 "lonesome" 一詞只指淒涼而孤單的景況，以現今的說法，大概就是 very lonely 了。